引 言                                                                                                                                                                             

對丸料進行重力篩分在噴丸過程中具有非常重要的作用。從工程應用的角度來看，重力篩分是分離合格與不合格丸料的方法基礎。螺旋重力篩分可能是最為常見的重力篩分方法。這種方法的歷史很長并且成功地應用在許多工業領域的不同類型的丸料中。

丸料在使用過程中會發生破碎或者磨損。破碎是丸料失效的首要原因。然而，磨損并不一定會產生失效，其在鋼切丸的鈍化過程中還會產生有利的作用。因此，丸料篩分的首要目標就是要把破碎的丸料篩分出來。

本文會闡述螺旋重力篩分的基本原理。圖1解釋了重力篩分的本質問題。一個置于向下斜坡上的球形丸料會獲得一個向前的旋轉速度。該向下的斜坡同時也會傾向離心軸的方向，所以會在旋轉過程中的丸料上施加一個向內的力F向內。

該重力分量會隨著傾斜角β的增加而增加。同時，一個相反的向外離心力F向外也會作用在丸料上。該離心力會與向前旋轉速度的平方成正比。如果向外的力高于向內的力，那么丸料會在沿著路徑下落的過程中向外移動。如果向內的力與向外的力相等，那么丸料的將會沿著恒定的半徑R運動，即沿著圖1中的虛線運動。

圖1

本篇文章將會分析螺旋重力篩分的幾何以及物理特征。將會做一些簡單的假設以便于大家更好地對于應用數學的理解。哪怕是分析一個的規則的球形丸粒在重力作用下沿著螺旋斜面進行運動的情況都是非常困難的，更不用說丸粒具有不規則的形狀。摩擦和能量損失會進一步使問題復雜化。更何況有數以百萬計的丸粒參與到螺旋重力分離的過程中。然而，本文將對于螺旋重力篩分過程進行定量的分析。

在平坦斜坡下的重力加速 

如果把球形和近球形的丸粒放在一個陡峭的斜坡上，其速度會在重力的作用下不斷增加。那些可以被歸類為不合格的丸粒會從斜坡上滾下來并會獲得一個相當大的前進速度。

（a）旋轉

圖2顯示了當一個球體從一個角度為α的陡峭斜坡上滾下時，其會產生一個不斷增加的向前速度以及回轉速度。加速度a與重力加速度g有關，其關系式為：

a=S*g*sinα                                    （1）

其中S是滾動體的形狀因子，對于完美球體，其值為5/7，而其它形狀的形狀因子值會更低。其余的2/7為產生轉動能的部分。

在恒定的加速度下，丸粒的向前速度v與其運動距離s成正比。如果一個丸粒從靜止開始運動，那么其滿足如下公式：

v2=2*a*s                                        （2）

把公式（1）中的a代入到公式（2）中，將會得到如下公式：

v2=2*S*g*sinα*s                             （3）

一個丸粒滾動一個給定的距離s所需的時間t為：

t=2s/v                                           （4）

圖2 球體產生了一個向前以及旋轉的速度

（b）滾動

丸粒的滾動運動與其具體形狀、傾斜角以及與其它丸粒的相互作用有關。在斜坡上靜止的丸粒可能會被其它正在下行運動中的丸粒撞擊而開始運動。這會造成丸粒運動的動態過程非常的復雜。但是，通過一些簡單的試驗可以確定滾動運動過程中的重要特征。例如，把一個木板以一定的角度靠在墻上，上面放置一些各種不規則形狀的丸粒。如果木板的傾斜角為45°，那么每種形狀的丸粒都會沿著斜坡加速下滑。而如果木板的傾斜角為20°，那么沒有一種形狀的丸粒會下滑。對于每種形狀的丸粒，都會有一個“安息角”，即丸粒滾動開始發生的角度。還有一種更為復雜的試驗，即把一個硬塑料薄板以一定的角度放置。該薄板本身的重量和柔韌性會產生一個角度不斷減小的斜坡，如圖3所示。

圖3. 不規則形狀的丸粒在一個角度不斷減小的斜坡上的不同位置

放置在位置1上的一個不規則形狀的丸粒將會沿著斜坡滾動下滑，但是隨著傾斜角的降低，其下滑的速度會減小并最終會在某個位置（例如位置3）靜止。對于給定形狀的丸粒，其尺寸越大，那么位置3的距離會越遠。該現象就如我們在現實中觀察到的大尺寸巖石會比小尺寸巖石的滾動距離更遠。如果我們一開始把不規則形狀的丸粒放置于位置2，那么丸粒會保持靜止，我們一般情況下把該角度稱之為“安息角”。

螺旋分離器的幾何尺寸

圖4給出了在工業應用中螺旋分離器的定量問題。從圖4中可以看出，螺旋分離器的特征是一些陡峭的向下斜面以垂直軸為中心組成的螺旋體。在這些斜面中，相對于靠近螺旋體中心位置的斜面，靠近螺旋體邊緣位置的斜面更為平緩。對于圖4中所顯示的分離器，共有五個同心的左手系的螺旋斜面組成，可以分別單獨分離丸料。

圖4. 在螺旋分離器中靠近內部的斜面更為陡峭而靠近邊緣的斜面更為平緩

一個可以定量了解螺旋分離器的方法就是組裝一個簡易的分離器模型。組裝模型所需要的工具有盤狀的紙板、膠水和一個垂直管。圖5為組裝示意圖。

圖5. 把紙盤從AB處剪開后可形成簡易的螺旋分離器模型

如果把圖5中的紙盤沿AB剪開并拎起靠近右手的邊緣，那么我可以得到一個右旋螺旋體。“右旋”的定義類比為使用右手可以順時針地把螺釘擰進螺母中。相反地，拎起靠近左手的邊緣，我們可以得到一個左旋螺旋體。如果我們繼續拎著邊緣位置往上抬，那么內徑D1會一直減小直到紙盤的內徑碰觸到垂直管，此時D1=D，如圖6所示。然后把此時的螺旋紙板與垂直管用膠水粘起來后，簡易模型就做好了。

圖6 沿著直徑為D的垂直體（圓筒）制成的左旋螺旋體

如果對螺旋分離器的幾何尺寸進行定量化，那么需要一些基本的數學公式。圖6中所示的螺旋路徑P-H為直角三角形的斜邊，如圖7所示。AB2=AC2+BC2。如果斜角α為45°，那么如6中的節距必須與圓柱體的周長相等，在圖7中表示就是AC=BC，同時可得AB=AC√2。螺旋體的路徑長度為圖5中孔的周長。因此，對于45°的內部坡道（圖4中的藍色角度），D1為D√2，其中D為圖6中的垂直管的直徑。圓柱周長BC=π*D，可得節距長度也為π*D，螺旋路徑長度為π*D√2。

圖7. 螺旋路徑為由節距以及圓柱周長組成的直角三角形的斜邊

圓紙板的外部邊緣位置形成了另外一個螺旋體，其路徑長度更長，為π*D0，如圖5所示。該螺旋體的斜率取決于D0以及節距的大小。例如，如果圓柱的直徑為100mm，形成的螺旋直徑為500mm，內坡的角度為45°，那么該螺旋體的外部邊緣的角度將為11.3°（如圖4所示，黃色角度）。形成的螺旋體將會朝著支撐圓柱體向內傾斜。這就形成了圖1中的重要角度β，可用下式表達：

tanβ=π*D1/2*(D2-D1)        （5）

其中D1為圓柱體直徑，D2為所形成的圓柱體直徑。

對于上述的例子中，如果D1=100mm，D2=500mm，那么可得β=21.4°。

工業上使用的螺旋分離器經常另具一個增加的幾何特征，即其螺旋體的半徑r會不斷地穩步增加，同時與圓柱體相連接的陡峭斜坡不受影響。沖裁出的薄板要素如圖8所示。

圖8. 螺旋體中不斷變化的半徑r

滾動中丸粒的外向力和內向力

（a）內向力

對于給定的內傾角β，向下滾動的丸粒的內向力是恒定的。該內向力也稱之為“向心力”（因為該力是朝內的）。因為力等于質量乘以加速度，那么向心力CP可以由下式表示：

CP=m*g*sinβ               （6）

螺旋體的螺旋線在第一次轉角時需要保持一個陡峭的內角，如圖4所示，其目的為限制所有向下運動的丸料能夠圍繞圓柱體運動。此后，螺旋體的外徑不斷增大，而β角則不斷減小。

（b）外向力

隨著滾動的丸粒不斷地圍繞中心圓柱體運動（同時也在進行向下運動），它們也會受到外向離心力CF的作用。相應的外向加速度為v2/r，其中v為丸粒向前的速度，r為其運動軌跡的圓周半徑。隨著丸粒滾動的速度不斷地增加，其沿著螺旋體運動的外向力也不斷地增加，因此可得：

CF=m*v2/r                （7）

（c）凈外向加速度

圖9顯示了丸粒在螺旋體上運動時其反向的力。凈力決定了丸粒是向內還是向外運動。CF與圓柱體的中軸線垂直，所以其與CP相反的力必須要進行分解。因此，作用在丸粒上的凈力為CFcosβ-CP。如果β的值比較大，那么凈力會更傾向于向內。對于上述的兩種相反的力，其質量是相同的。因此，結合公式（6）和公式（7），其凈加速度anet可得：

anet=cosβ*v2/r-g*sinβ   （8）

圖9. 向下運動的圓形丸粒的徑向力

一個向下滾動的丸粒的凈徑向加速度如圖10所示。

在截面1時，丸粒具有一個比較大的向內加速度（如紅色箭頭所示），所以其會向圓柱體方向運動。隨著丸粒向下的速度不斷增加，其離心力也不斷增加，導致其向內加速的傾向減弱，最終在截面4時，丸粒的徑向加速度為0。隨后，隨著丸粒的繼續運動，其凈加速度方向為外向，進而丸粒會逐漸遠離圓柱體。在截面7時，丸粒離開了邊緣位置并作為不合格丸料而被單獨收集。

圖10. 螺旋體的樹形截面顯示了一個向下運動的球形丸粒的向外運動軌跡

不合格丸料的運動狀態

不規則形狀的丸粒同樣也可以產生一個向下的速度，因此也會產生一個離心力。與規則形狀丸料相比，其最關鍵的不同是其向下的加速度會很快地減小為零，這是因為隨著丸粒往外運動，螺旋體的斜率也會減小。結果，不規則的丸粒不能產生足夠的速度以及凈徑向加速度來讓它們繼續向外運動，所以這些不合格的丸粒會在每個螺旋斜坡的底部被單獨收集。

如之前所述，相較于小尺寸不規則形狀的丸粒，大尺寸不規則形狀的丸粒的滾動速度更快。所以在工業應用中，使用更大直徑的螺旋體以適應更大尺寸范圍的丸料。通過把螺旋體的直徑加大，其平均β角也會進行減小，這樣丸粒的徑向移動距離會增加，這就為大尺寸不規則的丸粒的向外移動提供了更多障礙。

輸入和輸出

在螺旋分離器的頂部控制丸料的輸入量對于有效的篩分是非常關鍵的。每個螺旋分離器只能承受一個非常低的輸入量。圖11顯示了上述問題的一個工業解決方法。丸料會通過一個普通閥門送入到一個錐形筒中，然后被均分到五個獨立的螺旋體中。也可以采用Magnavalve＠閥而非普通閥門對丸料進行分流來對丸流量進行精確控制，或者也可以采用一個振動斜進料嘴。

圖11. 把丸粒分流到五個單獨螺旋篩分器中的錐形筒

從螺旋分離器中篩分出來的丸料分別由合格和不合格的丸料組成。圖12顯示了工業應用中丸料篩分出來的不合格丸料的照片。

圖12.合格和不合格的丸料分離