介紹：當對被夾緊的阿爾門試片進行噴丸時，我們針對試片變形引入了一種復雜的曲線（見圖1），其中故意夸大了曲線的垂直比例。“曲率”被定義為1/R ，其中R是曲面的半徑。最大被夾緊撓度顯示為h。

圖1噴丸后、被夾緊的阿爾門試片的復雜曲率

松開壓緊螺釘后，試片將進一步發生變形，并采用如圖2所示的更簡單形狀。點A到D分別表示壓緊螺釘在阿爾門測具上的四個位置。正是使用這個簡單的形狀測量了總撓度h，其中h=hl+h2。總撓度即為“阿爾門弧高”，隨著噴丸強度的增加而增加。

圖2阿爾門試片的曲率及對弧高的對應影響

常見錯誤是，人們認為發生撓曲完全是由噴丸引入的殘余應力系統造成的。然而，如果我們減少噴丸后阿爾門試片的應力，仍然會有很大一部分的變形存在。事實上，撓曲是由塑性永久變形與從固定夾具釋放時噴丸引起的殘余應力系統的調整共同造成的。

常識告訴我們，對于給定的噴丸強度，較薄的阿爾門試片將比較厚的阿爾門試片變形更多。直覺上我們知道較薄的試片比較厚的試片更柔韌（剛性更低）。

標準阿爾門試片N、A和C的標稱厚度分別為0.79 mm、1.30 mm和2.39 mm。對于產生“0.15 mmA至0.61 mmA”的弧高值的噴丸強度，應使用標準A試片。對于低于“0.15 mm A”的強度，建議使用N試片（參考SAE J443），而對于高于“0.61 mmA”的強度，建議使用C試片。眾所周知，如果對N和A兩種試片進行相同的噴丸處理，N試片將比A試片變形更多。同樣地，再對A和C兩種試片進行相同的噴丸處理，則A試片將比C試片變形更多。試片N、A和C（相同噴丸條件下）讀數之間的近似關系如下（參考 SAE J442）：

C試片讀數×3.5=A試片讀數，因此A/C=3.5

A試片讀數×3.0=N試片讀數，因此N/C=3.0

圖3 N試片與A試片的具備嚴格3/1弧高比的阿爾門飽和曲線

上述關系可以用圖形表示，如圖3所示。圖3中N試片的曲線由實際數據生成，而A試片的曲線由所有N試片數據除以3生成。因此，基于這種情況，在所有噴丸時間內，N試片和A試片必須始終有嚴格的3:1弧高比。兩條曲線的飽和時間T必須相同。2T處的弧高要求比T處高10%。對于圖3中的N和A試片的飽和曲線，10%的差值分別為0.048 mm(0.00189”)和0.016 mm(0.00063”)。在使用特定噴丸條件（S170丸料、2bar氣壓、332 mm噴槍距試片距離、8.12 g/s噴丸流量）時，N試片將比A試片更加適合。這是因為需要非常仔細地注意到弧高測量時的各個方面，才能準確檢測到A試片0.016 mm的弧高增加。

我們采用試片剛性和噴丸引起的彎矩的組合，檢驗了3:1和3.5:1近似關系的起源。剛性與試片厚度的立方成正比，而彎矩與殘余應力分布有關。將阿爾門試片固定在試片座上后，對試片一面進行噴丸，會在該面引入一個壓縮應力表面層，對應的力平行于被噴丸面。為了達到平衡，這個力必須有一個數值相等且作用方向相反的力。平衡力的分布影響施加在試片上的凈彎矩。平衡力的影響與次表面拉伸殘余應力分布直接相關。根據兩種類型的次表面拉伸殘余應力分布來考慮該輪廓。

分別對N和A試片對以及A和C試片對進行了實驗，以期驗證模型的有效性和近似關系的準確性。結果發現，測量的撓度比（N/A和A/C）分別低于和高于3:1和3.5:1公布的關系。這些發現可以用平衡殘余應力因子的組成比例來解釋。

阿爾門試片的剛性：

在噴丸前，阿爾門試片是平面矩形梁，其主要尺寸為寬度W=19.05 mm，長度=76.2 mm。平面矩形梁的剛性I由經典彈性等式給出：

I=寬度x厚度3/12 或者

I=Wt3/12                                                                                                             (1)

請注意，剛性僅取決于寬度和厚度立方，與梁的長度無關。如果我們將N、A和C試片的寬度和厚度的已知值代入等式(1)，可以得到：

IN=19.05 X 0.793/12 mm4，

IA=19.05 X 1.33/12 mm4，及

IC=19.055 X 2.393/12 mm4

因此：

IN=0.78 mm4，IA=3.49 mm4和IC=21.67 mm4                                                   (2)

我們在等式 (2)中看到，與常識一致，試片越厚，剛性越強。如果我們把等式(1)中的寬度改為76.2 mm，我們得到的剛性值正好是等式 (2)中的值的四倍。這向我們表明，“展向”彎曲阿爾門試片的難度是“縱向”彎曲的四倍。同樣，這與通常的觀察結果一致，例如，當試圖將尺子沿著其長度彎曲時。

彎矩：

彎矩M定義為力F乘以從該力到中性軸的距離D。圖4顯示了一個簡單的例子，力被施加到一個梁上，該梁被用作圍繞支點O的杠桿。距離支點D處的力F與距離支點D/10處的力10F平衡。在支點O處，我們有一個F.D.的彎矩和一個11F的向上力。對矩形梁施加彎矩會使其彎曲。彎曲度可以方便地用“曲率”表示。曲率是彎曲半徑R的倒數。因此，誘導曲率為1/R，與彎矩大小直接成正比。換句話說，“彎矩越大，誘導曲率越大”。

需要注意的是：

                              (a) 為了達到平衡，必須平衡“順時針”和“逆時針”的彎矩，以及

                              (b) 引起彎曲的是彎矩，而不是力。

圖4：簡支梁，力F在距離支點O的距離D處，平衡力10F在距離支點O的距離D/10處

阿爾門試片的彎矩：

當阿爾門試片受到壓縮力沖擊時，力F被引入平行于沖擊表面，但不完全施加在沖擊表面。該力在試片上施加彎矩，該彎矩最初由壓緊螺釘限制。釋放試片進行測量時，限制被消除。因此，阿爾門試片進一步彎曲，隨后將其彎曲位移記錄為阿爾門弧高。

力是應力與應力作用面積的乘積。我們關注的主要應力是表面層內噴丸引起的殘余壓應力。應力作用的面積大約是壓縮層的深度乘以試片的寬度。

為了計算在噴丸過程中產生的彎矩，我們需要對殘余應力分布、力和距離進行計算。我們通過對工況建立“模型”來簡化計算。在科學和工程領域中，建模是一種常見的方法，它既可以簡化所涉及的數學關系，也可以通過可用的數學程序生成可行的解決方案。如果使用殘余應力分布模型，則可極大簡化噴丸過程中產生的彎矩的量化問題的解決方案。基于兩種次表層拉應力分布，我們考慮了兩種殘余應力分布模型。

模型A

圖5顯示了一種工況的模型其中試片上表面已被噴丸，在厚度為t的試片中形成深度為d的壓縮層。假設噴丸一個面產生的力F平行于但不作用于最外表面，則可以假設力作用在距離試片中性軸一定距離(t/2-d/2)處。該力必須由作用在噴丸表面下方的相等且作用方向相反的力F來平衡。這種力來自于A型均勻水平的拉應力。在這個模型中，平衡張力作用于中性軸與壓縮噴丸力相對的一側。這兩種力都對試片施加彎矩。因為這兩個力位于中性軸的對側，它們將產生作用于同一方向的彎矩。該模型假設壓縮噴丸表面下的拉伸殘余應力幾乎是恒定的。

下一個問題是估量將出現在試片中的彎矩。

圖5使用A型拉伸殘余應力分布時的經夾緊、噴丸的阿爾門試片的彎矩來源

作用在圖5所示試片上的彎矩MA由以下等式給出：

MA=F(t/2-d/2)+F.d/2，簡化為：

MA=F.t/2                                                                                                                   (3)

等式(3)告訴我們，使用模型A，誘導彎矩直接取決于力的大小和試片厚度。將已知的阿爾門試片厚度代入等式(3)中，得出：

MN=F.O.79mm/2，MA=F.1.30mm/2和Mc=F.2.39/2                                                (4)

因此，對于恒定的誘導力F，彎矩隨試片厚度線性增加。

模型B

圖6顯示了噴丸過程中殘余應力分布的不同模型。模型是，不將平衡力均勻地分布在未噴丸的截面上，而是假設平衡力與壓縮的表層相鄰，位于表面以下的深度m處。在該模型中，壓縮噴丸力和平衡張力作用在中性軸的同一側。因為這兩個力位于中性軸的同一側，所以它們會產生反方向作用的彎矩。

作用在圖6所示試片上的彎矩MB由以下等式給出：

MB=F(t/2-d/2)-F(t/2-m)，簡化為：

 MB=F(m-d/2)                                                                                                            (5)

等式(5)告訴我們，使用模型B，誘導彎矩直接取決于力的大小，但與試片厚度無關。

彎矩引起的曲率：

對于彈性彎曲梁，彎矩M和曲率1/R之間的關系由以下著名的公式決定：

M=E.I.1/R                                                                                                                   (6)

其中E是彈性模量，I是剛性。

從教育的角度來看，等式(6)是一個典型的例子，說明了我們如何將變量之間的相互關系可視化。左側M必須等于右側（即三個變量E、I和1/R的乘積）。因此，如果M增加，則一個或多個右側變量必須增加以保持相等。例如，對于給定類型的阿爾門試片，E和I都是常量（希望如此）。因此，噴丸強度的任何增加（增加M）必須伴隨著曲率的相等增加。

圖6使用模型B拉伸殘余應力分布的經夾緊、噴丸后的阿爾門試片中的彎矩來源

我們可以重新排列等式(6)得出：

1/R=M/(E.I)                                                                                                                 (7)

如果我們把I=Wt3/12代入等式（7），我們得到：

1/R=M/(E.Wt3/12)                                                                                                      (8)

模型A

如果我們把M=Ft/2代入等式(8)，我們得到：

1/R=(Ft/2)/(E.Wt3/12) 簡化為：

1/R=6F/(E.Wt2)                                                                                                           (9)

現在我們可以假設，在固定噴丸強度下的阿爾門試片，F、E和W都是常數。隨后將情況進一步簡化為：

1/R=K/t2                                                                                                                    (10)

其中K是一個等于6F/(E.W)的常數,

等式(10)表示，固定噴丸強度下的阿爾門試片的曲率與其厚度成反比。將已知的阿爾門試片N、A和C的厚度代入等式(10)得出：

1/RN=K/(0.79 mm)2，1/RA=K/(1.30 mm)2和1/RC=K/(2.39 mm)2.

因此

l/RN/l/RA=2.71/1和1/RA/l/Rc=3.38/l                                                                        (11) 

模型B

如果我們將等式(5)中給出的彎矩值MB代入等式(8)中，得到：

1/R=F.(m-d/2)/(E.Wt3/12)，簡化為：

l/R=C/t3                                                                                                                     (12)

其中C是一個常數，等于12F(m-d/2)/E.W

將已知的阿爾門試片N、A和C的厚度代入等式(10)得出：

1/RN=C/(0.79 mm)2，1/RA=C/(1.30 mm)2和1/RC=C/(2.39 mm)2.

因此

l/RN/l/RA=4.46/1和1/RA/l/Rc=6.21/l                                                                        (13) 

曲率與弧高的關系：

我們還需要研究曲率和阿爾門弧高h之間的關系。圖1示出噴丸后的阿爾門試片位于四個規球上的部分，試片在A、B、C和D處與規球接觸。縱向和橫向曲率都施加在試片上。因此，阿爾門弧高由下式給出：

h=hl+h2                                                                                                                     (14)

如果我們假設曲率是常數1/R，則弧AEB和ELG是圓形的。高度h1和h2可以使用“相交弦定理”估計。已知    h1=(AB2/4).1/R和h2=(EG2/4).1/R。

因此：

h1+h2=(AB2/4+EG2/4).1/R或

h=( AB2/4+EG2/4).1/R                                                                                               (15)

AB是阿爾門測具的兩個規球之間的固定主距離。EG也是固定的，等于BC，BC是支撐球之間的固定小距離。因此，(AB2/4+EG2/4)具有一個常數值K。因此，我們可以將等式（15）表示為：

h=K.1/R                                                                                                                      (16)

由等式(16)可知，等式(11)可表示為：

hN/hA=2.71/1，及hA/hC=3.38/1                                                                              (17)

等式(13)可以類似地表示為：

hN/hA=4.46/1，及hA/hC=6.21/1                                                                              (18)

阿爾門弧高比的實驗驗證：

等式(17)和(18)中給出的比率分別低于和高于通常引用的經驗值（3/1和3.5/l）。這些經驗值在已應用的噴丸強度中是不符合的-除了必須對任何給定的試片對應用相同的強度。作者不知道已經發表的有關阿爾門弧高和試片厚度的大量數據。因此，決定通過實驗研究這些假定的關系。

表1中所示的比率適用于在一定氣壓和噴丸流量范圍內噴丸的八對試片。在噴嘴與試片固定距離332 mm的情況下，使用S170鑄鋼丸對所有試片進行噴丸達120s。平均N/A比率接近模型A的預測，而A/C比率大大高于模型A的預測。這兩個平均比率都大大低于用模型B預測的比率。

討論和結論：

結果表明，不同阿爾門試片厚度時，彎矩和剛性的綜合作用是造成撓度差異的主要原因。

在假定A型拉應力分布的情況下，根據兩個參數預測的N/A和A/C試片的撓度比分別為2.71和3.38。這些與各種標準出版物中給出的3.0和3.5比率相似，但不完全相同。如果假設B型拉伸殘余應力分布，則N/A和NC試片的預測曲率比要大的多，分別為4.46和6.21。因此，A型應力分布給出的值比B型分布更接近公布的值。

表l中給出的N/A撓度的實測比值為2.753。該值與用模型A預測的值接近，表明A型拉伸殘余應力分布占主導地位。實測的A/C撓度比為4.198，明顯大于模型A預測的3.38。這可以通過假設實際拉伸殘余應力分布是A型和B型的復合物來解釋。

表1 噴丸120s后的阿爾門試片的弧高

這假設源于這樣一個事實，即A/C研究中應用的噴丸強度都比N/C研究中應用的噴丸強度大得多。噴丸強度越高，表面加工硬化越大。圖7顯示了復合應力分布的示意圖。圖7所示的分布與殘余應力剖面測量中通常遇到的分布很接近。FA和FB表示與兩個分量相關的有效力，FA遠大于h。

必須認識到，用于預測撓度的模型是非常簡單的，是基于純粹的彈性行為的，而不是噴丸阿爾門試片中實際發生的混合彈性/塑性行為。盡管如此，這些模型還是與實際觀測結果相吻合。研究模型在更大數據集上的應用將是有益的。特定而言，需要研究丸料尺寸的影響。

未來的研究將包括研究N/A和A/C弧高比隨噴丸時間的變化，以及試片厚度對“飽和時間T”的影響。

圖7 在復合A型和B型拉伸應力分布情況下，經夾緊、噴丸后的阿爾門試片的彎矩起源。